Quantummechanica

Materie heeft massa, lading, energie (\(E_{kin}\) en \(E_{el}\)), en ondervindt krachten.

Straling heeft geen massa, geen lading, wel een ondeelbare hoeveelheid energie, en een constante snelheid (\(c\)). Het ondervindt geen krachten.

In het standaardmodel wordt materie beschouwd als deeltjes en straling als golven. Er zijn alleen kenmerken van materie waaruit blijkt dat het ook een golfkarakter vertoont, en andersom ook kenmerken van straling waaruit een deeltjeskarakter volgt.

Deeltjesgedrag

Kenmerken van deeltjesgedrag zijn:

Deeltjeskarakter van EM-straling

EM-straling kan worden gezien als een verzameling ‘deeltjes’ of ‘energiepakketjes’, genaamd fotonen. Die fotonen dragen de stralingsenergie, die afhangt van de golflengte van de straling:

\[E_f = h \frac{c}{\lambda}\]

Bij de absorptie of reflectie van fotonen oefenen zij een heel kleine kracht uit. Daarnaast is reflectie natuurlijk een vorm van richtingsverandering (bij een botsing). Dit zijn beide kenmerken van deeltjesgedrag.

Foto-elektrisch effect

Fotonen kunnen elektronen vrijmaken uit metalen. Dat noem je het foto-elektrisch effect. De elektronen kunnen alleen vrijkomen als de fotonenergie groter dan een minimale drempelwaarde is. Alle overige fotonenergie wordt omgezet in kinetische energie van het elektron.

\[E_f > E_{\text{uittreed}}\]

\[E_{kin} = E_f - E_{\text{uittreed}}\]

Dit experiment bewijst dat straling bestaat uit kleine energiepakketjes. Je zou verwachten dat bij een hogere intensiteit de stralingsenergie groot genoeg zou zijn om wél elektronen vrij te maken. Maar die energie is verdeeld over meer fotonen, dus een individueel foton heeft nog steeds niet genoeg energie om een elektron vrij te maken.

Golfgedrag

Kenmerken van golfgedrag zijn:

Interferentie

Je hebt twee soorten interferentie:

Het weglengteverschil is het afstandsverschil van een willekeurig tot beide bronnen. Op de buiklijnen geldt \(s_{\text{weglengte}} = n \lambda\), en op knooplijnen geldt \(s_{\text{weglengte}} = (n + \frac{1}{2}) \lambda\).

Het maximaal aantal buiklijnen is gelijk aan het aantal golflengtes afstand tussen de puntbronnen. Als die toeneemt, zijn er meer buiklijnen en wordt het interferentiepatroon minder scherp. Dit gebeurt dus als de bronnen verder uit elkaar staan, of de golflengte kleiner is.

Tralie

Een tralie is een stof (meestal kristalrooster) dat veel spleten naast elkaar heeft. Hierbij is \(d\) de tralieconstante: de afstand tussen de spleten. Voor de hoek \(\alpha_n\) tussen het midden en het \(n^{\text{de}}\) orde maximum geldt:

\[d\sin{(\alpha_n)} = n\lambda\]

Golfkarakter van materie

Als je het elektronen door een dubbelspleet schiet krijg je, net als bij fotonen, een interferentiepatroon. Als je de elektronen één voor één afschiet, krijg je nog steeds het patroon; het kan dus niet veroorzaakt worden door onderlinge botsingen.

De elektronen interfereren dus niet met elkaar, maar met zichzelf. Hieruit volgt dat een individueel elektron dus door beide spleten tegelijk gaat; het elektron vertoont golfgedrag.

De “golflengte” van het golfkarakter van materiedeeltjes wordt de debrogiegolflengte genoemd, en hangt af van de massa en snelheid van een deeltje:

\[\lambda = \frac{h}{mv}\]

Het ontstane interferentiepatroon bij elektronen geeft de waarschijnlijkheid aan dat je op een bepaalde plek een elektron aantreft (groot rond de maxima en klein rond de minima).

Golf-deeltjes dualiteit

Zowel materie als straling vertoont dus kenmerken van zowel golf- als deeltjesgedrag, maar nooit tegelijk. Quantumdeeltjes vertonen standaard golfgedrag, maar bij detectie of interacties met andere deeltjes komt het deeltjesgedrag naar voren.

Dit zie je ook in het dubbelspleets experiment: als je een detector bij de spleten plaatst, ontstaat er geen interferentiepatroon meer.

Dit dubbele karakter noemen we de golf-deeltjes dualiteit. Het is eigenlijk heel onlogisch, maar volgt wel uit de experimenten.

Gebonden materiedeeltjes

Elektrische kracht en gravitatiekracht lijken erg op elkaar. De formules hebben dezelfde vorm, en beide zijn krachten die twee objecten op afstand op elkaar uitoefenen.

Zolang jij gravitatiekracht ondervindt van een ander object, kun je je niet volledig vrij bewegen. We hebben daarom afgesproken dat het nulpunt van de gravitatie-energie ligt op het punt dat je buiten het bereik van het andere object bent, op \(r = \infty\).

Hetzelfde geldt ook voor de elektrische energie: zolang een elektron zich in een atoom bevindt, ondervindt het elektrische kracht van de atoomkern en kan het zich dus niet vrij bewegen. Net als bij de gravitatiekracht, hebben we ook hier afgesproken dat het nulpunt van de elektrische energie zich bevindt waar het elektron geen aantrekking van de atoomkern meer heeft. De elektrische energie is dus binnen het atoom negatief, en hoe hoger de elektrische energie, hoe minder negatief.

We noemen beide scenario’s een energieput: je bent ‘gebonden’, en om vrij te komen moet je energie toevoeren.

Energieput van een atoom

In een atoom bevinden de elektronen zich niet in een random wolk, maar in banen rond de kern. In het klassieke model van Bohr zijn dit cirkels om de atoomkern heen. In realiteit zijn dit driedimensionale staande golven, die de waarschijnlijkheid bepalen dat een elektron zich op een bepaalde plaats bevindt.

Op niveau \(n\) is de baan van het elektron een staande golf met \(n\) golflengtes.

De orbitalen van een atoomkern corresponderen met specifieke energietoestanden. Door een foton te absorberen kan een elektron naar een hogere energiebaan springen. Dit kan alleen als de foton-energie precies gelijk is aan het energieverschil tussen de verschillende toestanden.

De energie van een elektron op energieniveau \(n\) van een H-atoom bereken je zo:

\[E_n = \frac{13.6 \text{(eV)}}{n^2}\]

Binnen een atoom is de totale energie van een elektron: \(E_{tot} = E_{kin} + E_{el}\). Hoe verder van de kern:

Omdat de kinetische energie bij hogere niveaus kleiner is, is de debrogiegolflengte groter.

Energieput van een molecuul

In een lang kleurstofmolecuul is er niet één die de elektronen aantrekt. De elektrische energie is in de lengterichting overal ongeveer even groot, dus de elektronen kunnen zich “vrij” bewegen binnen het molecuul.

We gebruiken hiervoor dus een ander model: de oneindig diepe ééndimensionale energieput. We stellen de elektrische energie in het gehele molecuul gelijk aan nul. De enige energie die de elektronen hebben is dus hun kinetische energie.

Er zijn in de ééndimensionale energieput ook energietoestanden. Die energietoestanden geven niet de afstand tot de kern aan, zoals bij de atoom, maar op hoeveel plekken een elektron in het molecuul voor kan komen. (Daarom is het ééndimensionaal; alle staande golven lopen door elkaar heen.)

De energieniveaus zijn net als bij waterstof staande golven die de waarschijnlijkheid van het aantreffen van een elektron aangeven. Die staande golven lopen door het hele molecuul, en bij de randen zitten de knopen. Hoe hoger het energieniveau, hoe kleiner de golflengte, en hoe meer buiken er zijn. Een elektron kan dan op meer plekken in het molecuul zijn.

De energie van een deeltje op energieniveau \(n\) bereken je zo:

\[E_n = n^2 \cdot \frac{h^2}{8mL^2} = n^2 \cdot E_1\]

Hierbij is \(L\) de lengte van het atoom in meters. Daarvoor geldt in de grondtoestand \(\lambda = 2L\), waaruit volgt:

\[L = n \cdot \frac{1}{2}\lambda_n\]

In een kleurstofmolecuul kan elk energieniveau door maar twee elektronen (met tegengestelde elektronspin) bezet worden. Dit noemen we het uitsluitingsprincipe van Pauli. Dat betekent dat als er een foton is met een golflengte voor een overgang van A naar B, maar energieniveau B is al bezet voor twee elektronen, de foton niet geabsorbeerd wordt.

Er is heel veel energie nodig om een elektron vrij te krijgen uit het molecuul (want de gecombineerde elektrische kracht van alle atomen is vrij hoog). Daarom gaan we ervanuit dat de benodigde kinetische energie daarvoor oneindig is. Daarom noemen we de energieput oneindig diep. (Dit is natuurlijk een wiskundige versimpeling.)

Verschillen met de energieput van een atoom:

Tunneling

In de praktijk is het natuurlijk wel mogelijk om een elektron vrij te krijgen, als je maar genoeg energie blijft toevoeren.

Daarom is de waarschijnlijkheid van het aantreffen van een elektron buiten de randen van het molecuul niet helemaal nul. Er is dus een hele kleine kans dat een elektron daar wel kan zijn.

Als een elekron door die kans uit de energieput ontsnapt, ook al heeft het niet voldoende energie, noem je dat tunneling.

Een voorbeeld daarvan is alfaverval. Bij alfaverval tunnelt een heliumkern door de energiebarriëre die nodig is om de sterke kernkracht (die kerndeeltjes bij elkaar houdt) te overdrempelen. Dit is een toevalsprocess omdat het tunnelen volledig is gebaseerd op kansen (de staande golf geeft kans aan).

Omdat de golf iets doordring in de wand van de energieput, is de golflengte niet langer gelijk aan \(2L\). Je kan hier dus geen formules van de oneindige energieput gebruiken.

Halfgeleiders

In een metaalrooster delen de atomen hun elektronen. Dit kan je zien als een gigantische energieput met heel veel elektronen; daardoor zijn er heel veel energieniveaus die heel dicht op elkaar liggen.

Omdat de energieniveaus zo dicht op elkaar liggen vormen ze eigenlijk een aaneengesloten energieband, waarbinnen de elektronenergie niet langer gequantiseerd is. De elektronen kunnen elke mogelijke energie (binnen de band) hebben en ook elke mogelijke energie absorberen of afgeven.

Er zijn twee energiebanden:

De elektronen in de geleidingsband kunnen vrij bewegen en daardoor kan er stroom lopen. De elektronen in de valentieband kunnen dat niet. Om een stof te laten geleiden moeten dus de elektronen van de valentieband naar de geleidingsband kunnen.

Bij stoffen die goed geleiden overlappen de valentieband en geleidingsband en kunnen elektronen makkelijk overspringen. Daardoor kunnen ze zich afwisselend gedragen als vrij of gebonden deeltje.

Bij isolatoren is er een band gap (‘verboden gebied’) tussen de twee banden, die zo groot is dat overspringen onmogelijk is. Er kunnen geen elektronen in de geleidingsband komen; er kan geen stroom lopen.

Bij halfgeleiders is de bandgap maar heel klein (meestal \(\lt 1 \text{ eV}\)). Elektronen kunnen dan uit zichzelf niet overspringen, maar als er extra energie wordt toegevoerd wel. Bijvoorbeeld door:

Als er meer energie wordt toegevoerd kunnen elektronen makkelijker overspringen naar de geleidingsband, en wordt de weerstand van de stof lager (want er gaat makkelijker stroom lopen).

LED

Een LED gaat stroom geleiden als de spanning die je er over zet een minimale drempelwaarde overschrijdt.

Bij het terugvallen van de geleidingsband naar de valentieband wordt er licht uitgezonden. De kleur hangt af van de grootte van het bandgap.